Question

17．用五種不同的顏色來涂如圖所示的田字形區(qū)域，要求同一區(qū)域上用同一種顏色，相鄰區(qū)域用不同的顏色（A與C、B與D不相鄰）．
（1）求恰好使用兩種顏色完成涂色任務(wù)的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人各自相互獨(dú)立完成涂色任務(wù)，記他們所用顏色的種數(shù)差的絕對(duì)值為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）

Answer 1

分析 （1）利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可知涂色方案共有260種，滿足條件的方案由20種，利用概率計(jì)算公式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過分別求出隨機(jī)變量ξ可能取值為0，1，2時(shí)各自的概率，利用期望的定義計(jì)算即可．

解答 解：（1）由題意，涂色方式共三大類：
由分步計(jì)數(shù)原理可得，共${A}_{5}^{4}$+2×5×4×3+${A}_{5}^{2}$=260，
恰好使用兩種顏色的方法有${A}_{5}^{2}$=20，
故所求概率P=$\frac{20}{260}$=$\frac{1}{13}$；
（2）依題意，隨機(jī)變量ξ可能取值為0，1，2，
∵使用四種顏色的概率為$\frac{{A}_{5}^{4}}{260}$=$\frac{6}{13}$，使用三種顏色的概率為$\frac{2×5×4×3}{260}$=$\frac{6}{13}$，
∴P（ξ=0）=$\frac{1}{13}$×$\frac{1}{13}$+$\frac{6}{13}$×$\frac{6}{13}$+$\frac{6}{13}$×$\frac{6}{13}$=$\frac{73}{169}$，
P（ξ=1）=2（$\frac{6}{13}$×$\frac{6}{13}$+$\frac{6}{13}$×$\frac{1}{13}$）=$\frac{84}{169}$，
P（ξ=2）=2×$\frac{6}{13}$×$\frac{1}{13}$=$\frac{12}{169}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{73}{169}$	$\frac{84}{169}$	$\frac{12}{169}$

E（ξ）=0×$\frac{73}{169}$+1×$\frac{84}{169}$+2×$\frac{12}{169}$=$\frac{108}{169}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，涉及排列、組合等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．