Question

11．如圖所示，已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． 8π
• C． 16π
• D． 64π

Answer 1

分析 設球心到平面ABCD的距離為d，利用△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距離為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，從而R²=（$\frac{\sqrt{4+9}}{2}$）²+d²=1²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-d）²，求出R²=4，即可求出多面體E-ABCD的外接球的表面積．

解答 解：設球心到平面ABCD的距離為d，則
∵△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，
∴E到平面ABCD的距離為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴R²=（$\frac{\sqrt{4+9}}{2}$）²+d²=1²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-d）²，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，R²=4，
∴多面體E-ABCD的外接球的表面積為4πR²=16π．
故選：C．

點評 本題考查多面體E-ABCD的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出多面體E-ABCD的外接球的半徑是關鍵．