Question

4．（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）¹⁰⁰的展開式中，有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 11
• B． 13
• C． 15
• D． 17

Answer 1

分析 （$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）¹⁰⁰的展開式中的通項(xiàng)公式：T_r+1=$（-\frac{1}{2}）^{r}$${∁}_{100}^{r}$${x}^{50-\frac{5r}{6}}$，（r=0，1，…，100）．當(dāng)r=0，6，12，…，96時(shí)，50-$\frac{5r}{6}$為整數(shù)，即可得出．

解答 解：（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）¹⁰⁰的展開式中的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{100}^{r}$$（\sqrt{x}）^{100-r}$$（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{r}$=$（-\frac{1}{2}）^{r}$${∁}_{100}^{r}$${x}^{50-\frac{5r}{6}}$，（r=0，1，…，100）．
當(dāng)r=0，6，12，…，96時(shí)，50-$\frac{5r}{6}$為整數(shù)，
96=0+（n-1）×6，解得n=17．
因此有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是17項(xiàng)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．