Question

已知曲線C：y²=2x+a在點(diǎn)P_n（n，

2n+a

）（a＞0，n∈N）處的切線l_n的斜率為k_n，直線l_n交x軸，y軸分別于點(diǎn)A_n（x_n，0），B_n（0，y_n），且|x₀|=|y₀|．給出以下結(jié)論：
①a=1；
②當(dāng)n∈N^*時(shí)，y_n的最小值為

5

4

；
③當(dāng)n∈N^*時(shí)，k_n＜

2

sin

1

2n+1

；
④當(dāng)n∈N^*時(shí)，記數(shù)列{k_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n＜

2

(

n+1

-1)．
其中，正確的結(jié)論有

 

（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，求出切線方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判斷①；
令

2n+1

=t（t≥

3

），得到y(tǒng)_n在t≥

3

上遞增，即可得到最小值，即可判斷②；
令u=

1

2n+1

（0＜u≤

1

3

），則有y=

2

sinu-u，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可判斷③；
由于（

a+b

2

）²≤

a2+b2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b取等號(hào)），則有

n

+

n+1

＜

2

n+n+1

，則有

1

2n+1

＜

2

n + n+1

=

2

（

n+1

-

n

），再由裂項(xiàng)相消求和，即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，由y²=2x+a，當(dāng)x＞0時(shí)，y=

2x+a

，
y′=

1

2x+a

，則k_n=

1

2n+a

，
切線方程為y-

2n+a

=

1

2n+a

（x-n），
令x=0，則y=

n+a

2n+a

，令y=0，則x=n-（2n+a）=-n-a，
即有x_n=-n-a，y_n=

n+a

2n+a

，
由于|x₀|=|y₀|，則|a|=|

a

a

|，解得，a=1，
則①正確；
對(duì)于②，由于y_n=

n+1

2n+1

，令

2n+1

=t（t≥

3

），則y_n=

1+ t2-1 2

t

=

1

2

（t+

1

t

）在t≥

3

上遞增，
則有t=

3

取得最小值，且為

1

2

（

3

+

3

3

）=

2 3

3

，則②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)n∈N^*時(shí)，k_n=

1

2n+1

，令u=

1

2n+1

（0＜u≤

1

3

），則有y=

2

sinu-u，y′=

2

cosu-1，
由于0＜u≤

1

3

＜

π

4

，則

1

2

≤cosu＜1，即有y′＞0，y在0＜u≤

1

3

上遞增，即有y＞0，
即有k_n＜

2

sin

1

2n+1

成立，則③正確；
對(duì)于④，當(dāng)n∈N^*時(shí)，記數(shù)列{k_n}的前n項(xiàng)和為S_n，k_n=

1

2n+1

由于（

a+b

2

）²≤

a2+b2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b取等號(hào)），
則a+b≤

2(a2+b2)

，則有

n

+

n+1

＜

2

n+n+1

，
則有

1

2n+1

＜

2

n + n+1

=

2

（

n+1

-

n

），
則S_n=

1

3

+

1

5

+…+

1

2n+1

＜

2

[（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+（

n+1

-

n

）]
=

2

（

n+1

-1）．則④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求最值和比較大小，考查數(shù)列的求和：放縮和裂項(xiàng)相消法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．