Question

8．若函數(shù)f（x）=a（x-2e）•lnx+1有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 首先對f（x）求導f'（x）=a（1-$\frac{2e}{x}$+lnx），令h（x）=1-$\frac{2e}{x}$+lnx （x＞0），判斷h（x）的單調(diào)性，結(jié)合參數(shù)a，分析f（x）的單調(diào)性即可．

解答 解：由題意，x＞0；
對f（x）求導：
f'（x）=a（x-2e）•$\frac{1}{x}$+a•lnx
=a-$\frac{2ae}{x}$+a•lnx
=a（1-$\frac{2e}{x}$+lnx）
令h（x）=1-$\frac{2e}{x}$+lnx （x＞0），
h'（x）=$\frac{2e}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$＞0，
∴h（x）在x＞0上增函數(shù)，當x→0時，h（x）→-∞；
∴h（x）與x軸在x＞0上有且僅有一個交點x₀=e，
當a=0時，f（x）=1與x軸無交點，不符合題意，故舍去；
當a＞0時，f（x）在（0，e）單調(diào)遞減，（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（e）=-ae+1＜0，⇒a＞$\frac{1}{e}$時說明f（x）與x軸有兩個交點；
當a＜0時，f（x）在（0，e）單調(diào)遞增，（e，+∞）上單調(diào)遞減；
∴f_max（e）=-ae+1＞0 說明f（x）與x軸有兩個交點；
綜上：a的取值范圍為（-∞，0）∪（$\frac{1}{e}$，+∞）．
故答案為：（-∞，0）∪（$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)最值與圖形交點問題，屬中等題．