Question

11．已知函數(shù)f（x）=3tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的定義域和值域．
（2）討論f（x）的周期和單調區(qū)間．
（3）求f（x）的對稱中心．

Answer 1

分析 （1）根據正切函數(shù)的定義，令$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可求出f（x）的定義域和值域；
（2）根據$\frac{π}{ω}$求出f（x）的最小正周期，再根據正切函數(shù)的單調性求出f（x）的單調區(qū)間；
（3）根據$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z時y=0，求出f（x）的對稱中心．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即x≠2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z；
∴f（x）的定義域為{x|x≠2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z}，
值域為R；
（2）∵$\frac{π}{\frac{1}{2}}$=2π，∴f（x）的最小正周期是2π；
又令-$\frac{π}{2}$+kπ＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+2kπ＜x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調增區(qū)間為（-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ），k∈Z；
（3）令$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z，
此時y=f（x）=0；
∴函數(shù)f（x）的對稱中心為（$\frac{2π}{3}$+2kπ，0），k∈Z．

點評 本題考查了正切函數(shù)的圖象與性質的應用問題，解題時應熟記正切函數(shù)的定義域、值域和單調性與周期性，是基礎題目．