Question

7．已知函數(shù)f（x）=（x+1）²+aln（x+2）+b（a∈R，b∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且極小值恒小于零，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）由（1）可知a＜$\frac{1}{2}$，f（$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$）＜0恒成立，-b＞（$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$+1）²+aln（$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$+2），求出右邊的最大值，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=（x+1）²+aln（x+2）+b，
∴f′（x）=2（x+1）+$\frac{a}{x+2}$=$\frac{2{x}^{2}+6x+4+a}{x+2}$，
令y=2x²+6x+4+a，△=36-8（4+a）=4-8a≤0，即a≥$\frac{1}{2}$，f′（x）≤0，函數(shù)在（-2，+∞）上單調(diào)遞減；
a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，由y=0，可得x=$\frac{-3±\sqrt{1-2a}}{2}$，∴函數(shù)在（-2，$\frac{-3-\sqrt{1-2a}}{2}$），（$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增；
在（$\frac{-3-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$）上單調(diào)遞減；
（2）由（1）可知a＜$\frac{1}{2}$，f（$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$）＜0恒成立，
∴-b＞（$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$+1）²+aln（$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$+2），
令g（a）=（$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$+1）²+aln（$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$+2），t=$\frac{-3+\sqrt{1-2a}}{2}$（t＞-$\frac{3}{2}$）
∴g（t）=（t+1）²+（-2t²-6t-4）ln（t+2），
∴g′（t）=（-4t-6）ln（t+2），
∵t＞-$\frac{3}{2}$，∴g′（t）＜0，函數(shù)g（t）在（-$\frac{3}{2}$，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（t）≤g（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$，
∴-b＞$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$，
∴b＜-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．