Question

15．已知實數(shù)x，y滿足y=x²-2x+2（-1≤x≤1）．試求$\frac{y+3}{x+2}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 先將函數(shù)化簡，再利用換元法，進(jìn)而可確定函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，從而可求函數(shù)的最大值與最小值，故可得結(jié)論．

解答 解：∵y=x²-2x+2
∴$\frac{y+3}{x+2}$=$\frac{{x}^{2}-2x+5}{x+2}$
令x+2=t（1≤t≤3），則x=t-2
∴$\frac{y+3}{x+2}$=t+$\frac{13}{t}$-6
設(shè)f（t）=t+$\frac{13}{t}$-6，f′（t）=1-$\frac{13}{{t}^{2}}$，
∴函數(shù)在[1，3]上，f′（t）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴t=1時，函數(shù)取得最大值f（1）=8；t=3時，函數(shù)取得最小值f（3）=$\frac{4}{3}$．

點評 本題重點考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查換元法的使用，有一定的綜合性．