Question

13．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，每個(gè)人都要報(bào)名參加．分別求在下列情況下不同的報(bào)名方法的種數(shù)：
（ I）每個(gè)項(xiàng)目都要有人報(bào)名；
（ II）甲、乙報(bào)同一項(xiàng)目，丙不報(bào)A項(xiàng)目；
（ III）甲不報(bào)A項(xiàng)目，且B、C項(xiàng)目報(bào)名的人數(shù)相同．

Answer 1

分析 （ I）每個(gè)項(xiàng)目都要有人報(bào)名，則有2個(gè)人參加同一個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，先選2人，再全排即可，
（ II）甲、乙報(bào)同一項(xiàng)目，丙不報(bào)A項(xiàng)目，共有C₃²C₃¹=3×3=9種；
（ III）甲不報(bào)A項(xiàng)目，且B、C項(xiàng)目報(bào)名的人數(shù)相同，若B、C項(xiàng)目各有一人，若B、C項(xiàng)目各有兩人，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．

解答 解：（ I）每個(gè)項(xiàng)目都要有人報(bào)名，共有$C_4^2A_3^3=\frac{4×3}{2}×3×2×1=36$種；
（ II）甲、乙報(bào)同一項(xiàng)目，丙不報(bào)A項(xiàng)目，共有C₃²C₃¹=3×3=9種；
（ III）甲不報(bào)A項(xiàng)目，且B、C項(xiàng)目報(bào)名的人數(shù)相同，
若B、C項(xiàng)目各有一人，有$C_3^1A_2^2=6$種；
若B、C項(xiàng)目各有兩人，有$C_4^2A_2^2=\frac{4×3}{2}×2=12$種，
所以甲不報(bào)A項(xiàng)目，且B、C項(xiàng)目報(bào)名的人數(shù)相同共有18種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的運(yùn)用以及分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，注意認(rèn)真分析條件的限制，選擇對(duì)應(yīng)的公式，進(jìn)而求解．