Question

已知函數k（x）=λlnx+

1

x

-1，f（x）=x-

1

x

，F(xiàn)（x）=k（x）+f（x）
（1）當λ=1時，求函數的k（x）極值；
（2）設F（x）=k（x）+f（x），若F（x）≥0恒成立，求實數λ的值；
（3）設T_n=e¹•e

1

2

•e

1

3

…e

1

n

．．求證：

Tn+1

e

＜n+1＜T_n．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用,等差數列與等比數列

分析：（1）由已知k（x）的定義域為（0，+∞），k′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，由此利用導數性質能求出k（x）的極值．
（2）F（x）=λlnx+x-1，F(xiàn)（1）=0，F′(x)=

λ+x

x

，由F（x）≥0恒成立，利用導數性質能求出λ=-1．
（3）當x≠1時，lnx＞1-

1

x

；x＞1時，lnx＜x-1．取x=

n+1

n

，得

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，再由

n

i=1

1

i+1

＜ln（n+1）＜

n

i=1

1

i

，能證明

Tn+1

e

＜n+1＜T_n．

解答： （1）解：∵函數k（x）=λlnx+

1

x

-1，
∴k（x）的定義域為（0，+∞）…．（1分）
∵λ=1，∴k′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

…．（3分）
當x＞1時，k′（x）＞0，當0＜x＜1時，k′（x）＜0，
∴x=1時，k（x）取得極小值，無極大值，
∴k（x）的極小值為k（1）=0．…..（5分）
（2）解：∵函數k（x）=λlnx+

1

x

-1，f（x）=x-

1

x

，F(xiàn)（x）=k（x）+f（x），
∴令F（x）=λlnx+x-1，F(xiàn)（1）=0，F′(x)=

λ+x

x

，
由F（x）≥0恒成立，則F（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增；
即0＜x≤1時，F(xiàn)′（x）≤0恒成立，得λ≤-1
x≥1時，F(xiàn)′（x）≥0恒成立，得λ≥-1
綜上，λ=-1…..（10分）
（3）證明：由（1）得，k（x）＞k（1）=0，即：當x≠1時，lnx＞1-

1

x

由（2）得，x＞1時，F(xiàn)（x）＞F（1）=0，即：lnx＜x-1
取x=

n+1

n

，得：ln

n+1

n

＞1-

n

n+1

=

1

n+1

，ln

n+1

n

＜

n+1

n

-1=

1

n

即得：

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

（n∈N⁺）…（12分）
又∵ln(n+1)=ln(

n+1

n

.

n

n-1

…

3

2

.

2

1

)
=ln

n+1

n

+ln

n

n-1

+…+ln

3

2

+ln

2

1

∴

n

i=1

1

i+1

＜ln（n+1）＜

n

i=1

1

i

即e

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

＜n+1＜e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴

Tn+1

e

＜n+1＜T_n，n∈N⁺…（14分）

點評：本題考查函數的極值的求法，考查實數的值的求法，考查不等式的證明，解題時要注意導數性質、數列與不等式性質的合理運用．