Question

已知函數(shù)f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，試求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）原方程等價(jià)于2x²-8lnx-14x=m，令h（x）=2x²-8lnx-14x，則原方程即為h（x）=m．因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)原方程有唯一解，所以函數(shù)y=h（x）與y=m的圖象在y軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)．求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，得到極值，也為最值，即可得到m的值．

解答： 解�。�1）因?yàn)?span id="dpeoueo" class="MathJye">f′(x)=2x-

8

x

，所以切線的斜率k=f'（1）=-6．
又f（1）=1，
故所求的切線方程為y-1=-6（x-1），即y=-6x+7．
（2）原方程等價(jià)于2x²-8lnx-14x=m，
令h（x）=2x²-8lnx-14x，則原方程即為h（x）=m．
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)原方程有唯一解，
所以函數(shù)y=h（x）與y=m的圖象在y軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)．
又h′(x)=4x-

8

x

-14=

2(x-4)(2x+1)

x

，且x＞0，
所以當(dāng)x＞4時(shí)，h'（x）＞0；當(dāng)0＜x＜4時(shí)，h'（x）＜0．
即h（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，4）上單調(diào)遞減，
故h（x）在x=4處取得最小值，
又x＞0且x無限趨近0時(shí)，h（x）無限趨近正無窮大，
x無限趨近正無窮大時(shí)，h（x）也無限趨近正無窮大．
從而當(dāng)x＞0時(shí)原方程有唯一解的充要條件是m=h（4）=-16ln2-24．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程、單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．