Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+k在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m＞0）
（1）當(dāng)x≥0，k=1，m=3時，求a，b的值．
（2）當(dāng)x≥0，k=1時，求m的取值范圍．
（3）當(dāng)x≤0，m=3時，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1），a＜b，3a=2a²+1，a＞0，a=

1

2

，3b=2b²+1，b=1，（2）2x²-mx+1=0，△=m²-8＞0，即m＞2

2

，或m＜-2

2

，得出m＞0，求解即可得出m＞2

2

，
（3）化簡得出3b=2a²+k，3a=2b²+k，a＜b＜0，計算即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2x²+k在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m＞0），
∴k=1，m=3時f（x）=2x²+1，值域為[3a，3b]
∵x＞0，a＜b
∴3a=2a²+1，a＞0，a=

1

2

，3b=2b²+1，b=1，
∴a=

1

2

，b=1，
（2）∵當(dāng)x≥0，k=1時，函數(shù)f（x）=2x²+1在[a，b]上的值域為[ma，mb]（m＞0），
∴判斷單調(diào)遞增2a²+1=ma，2b²+1=mb，a＞b，
∴2x²+1=mx，2x²-mx+1=0，
∴△=m²-8＞0，
即m＞2

2

，或m＜-2

2

，
∵m＞0，
∴m＞2

2

，
（3）∵當(dāng)x≤0，m=3時，
∴f（x）=2x²+k，值域為[3a，3b]，定義域為：[a，b]單調(diào)遞減，
3b=2a²+k，3a=2b²+k，a＜b＜0，
化簡得：a+b=-

3

2

，k=2a²+3b=-2a²-3a-

9

2

，（a＜0），
即：k=-2a²-3a-

9

2

，（a＜0），
∵3b=2a²+k，3a=2b²+k，a＜b＜0，
可判斷y=k，g（a）=-2a²-3a-

9

2

，（a＜0），有2個交點，
g（-

3

4

）=-

27

8

，g（0）=-

9

2

，
∴k∈[-

9

2

，-

27

8

）

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的求解，運用求解參變量的值，范圍問題，屬于中檔題．