Question

20．已知函數(shù)f（x）=mx+$\frac{4}{x}$，且f（4）=3．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并應(yīng)用單調(diào)性的定義給予證明．

Answer 1

分析 （1）把x=4代入f（x）解出即可得出．
（2）判斷f（-x）與±f（x）的關(guān)系即可得出；
（3）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．設(shè)x₁＞x₂＞0，證明f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答 解：（1）∵f（4）=3，∴4m-$\frac{4}{4}$=3，∴m=1…（2分）
（2）因?yàn)閒（x）=x-$\frac{4}{x}$，定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)成對(duì)稱(chēng)區(qū)間，又f（-x）=-x-$\frac{4}{-x}$=-（x-$\frac{4}{x}$）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．…（6分）
（3）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，則f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{4}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{4}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）．
因?yàn)閤₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，1+$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增的．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．