Question

6．已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，若f（-2）=0，則不等式xf（x）＜0的解集是（-2，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增即在R上單調(diào)遞增，f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，分段討論x的值，可得不等式xf（x）＜0的解集．

解答 解：函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增
∴函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（0）=0
∵f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0．
∴當(dāng)x＜-2時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞0，
那么：xf（x）＜0，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴得：-2＜x＜0或0＜x＜2．
故答案為（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，考查了討論的思想．屬于基礎(chǔ)題．