Question

6．2015年7月31日，國際奧委會在吉隆坡正式宣布2022年奧林匹克冬季奧運會（簡稱冬奧會）在北京和張家口兩個城市舉辦．某中學為了普及奧運會知識，舉行了一次奧運知識競賽．隨機抽取了30名學生的成績，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定成績在75分以上（包括75分）的學生定義為甲組，成績在75分以下（不包括75分）定義為乙組．
（1）求甲組學生的平均分；
（2）在這30名學生中，甲組學生中有男生7人，乙組學生中有女生12人，試問有沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關；
（3）①如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，那么至少有1人在甲組的概率是多少？
②用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學（人數很多）中隨機選取3人，用ξ表示所選3人中甲組的人數，試寫出ξ的分布列，并求出ξ的數學期望．

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.010
K	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）利用莖葉圖能求出甲組學生的平均．
（2）作出勤率×2列聯表，由列聯表數據代入公式求出K²≈1.83＜2.706，從而得到沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關．
（3）①用A表示“至少有1 人在甲組”，利用對立事件概率計算公式能求出至少有1人在甲組的概率．
②由題意知，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答 解：（1）甲組學生的平均分：
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{12}$（75+75+76+76+78+80+81+81+82+84+87+91）=80.5．
（2）作出勤率×2列聯表，

	甲組	乙組	合計
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計	12	18	30

由列聯表數據代入公式得：
${K}^{2}=\frac{n（ab-bc）^{2}}{（a+b）（a+d）（b+d）}$≈1.83，
∵1.83＜2.706，
∴沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關．
（3）①用A表示“至少有1 人在甲組”，
則P（A）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
∴至少有1人在甲組的概率是$\frac{7}{10}$．
②由題意知，抽取的30名學生中有12名是甲組學生，
抽取1名學生是甲組學生的概率為$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，
則從所有學生中抽取1名學生是甲組學生的概率是$\frac{2}{5}$，
又∵所取總體數量較多，
抽取3名學生可以看成3次獨立重復試驗，于是ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），
由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，
且P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{2}{5}）^{k}（1-\frac{2}{5}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

Eξ=$3×\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．