Question

17．在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，若3a₁，$\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，則$\frac{{{a_{2014}}-{a_{2015}}}}{{{a_{2016}}-{a_{2017}}}}$=$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，根據(jù)3a₁，$\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，可得：2×$\frac{1}{2}{a}_{3}$=3a₁+2a₂，即${a}_{1}{q}^{2}$=3a₁+2a₁q，解出q，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵3a₁，$\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，
∴2×$\frac{1}{2}{a}_{3}$=3a₁+2a₂，即${a}_{1}{q}^{2}$=3a₁+2a₁q，
∴q²-2q-3=0，q＞0，
解得q=3．
則$\frac{{{a_{2014}}-{a_{2015}}}}{{{a_{2016}}-{a_{2017}}}}$=$\frac{{a}_{2014}-{a}_{2015}}{{q}^{2}（{a}_{2014}-{a}_{2015}）}$=$\frac{1}{9}$．
故答案為：$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．