Question

已知函數(shù)f（x）=

a•ex

x

（a∈R，a≠0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)f′（x）=e^x•

x-1

x2

，從而得到f（1）=e，f′（1）=0；從而寫出切線方程；
（2）求導(dǎo)f′（x）=a•e^x•

x-1

x2

；從而可得當(dāng)x＜1且x≠0時(shí)，e^x•

x-1

x2

＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，e^x•

x-1

x2

＞0；再討論a以確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而求單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=e^x•

x-1

x2

；
故f（1）=e，f′（1）=0；
故曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的方程為
y-e=0；
（2）f′（x）=a•e^x•

x-1

x2

；
故當(dāng)x＜1且x≠0時(shí)，e^x•

x-1

x2

＜0，
當(dāng)x＞1時(shí)，e^x•

x-1

x2

＞0；
故當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x＜1且x≠0時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x＜1且x≠0時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
故當(dāng)a＜0時(shí)，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（0，1）；單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，1）；單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．