Question

19．在△ABC中，角A、B，C所對(duì)的邊分別為a、b、c且滿足asinB=b，則當(dāng)$\sqrt{2}$sinB+sinC取得最大值時(shí)，cosB的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理得到sinA=1，A=$\frac{π}{2}$，結(jié)合輔助角公式得到$\sqrt{2}$sinB+sinC取得最大值時(shí)的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．

解答 解：在△ABC中，∵asinB=b，
∴sinAsinB=sinB，
即sinA=1，則A=$\frac{π}{2}$，
則B+C=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{2}$-B，
即$\sqrt{2}$sinB+sinC=$\sqrt{2}$sinB+sin（$\frac{π}{2}$-B）=$\sqrt{2}$sinB+cosB=$\sqrt{3}$（sinB•$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$+cosB•$\frac{1}{\sqrt{2}}$），
令cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，sinθ=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
則$\sqrt{2}$sinB+sinC=$\sqrt{3}$（sinB•cosθ+cosB•sinθ）=$\sqrt{3}$sin（B+θ），則當(dāng)sin（B+θ）=1時(shí)，$\sqrt{2}$sinB+sinC取得最大值，
此時(shí)cos（B+θ）=0，
則cosB=cos（B+θ-θ）=cos（B+θ）cosθ+sin（B+θ）sinθ=sinθ=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理以及輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．