Question

7．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=1}\\{4n+（-1）^{n}（8-2a），n≥2}\\{\;}\end{array}\right.$，若對任意n∈N₊，a_n＜a_n+1恒成立，則a的取值范圍是（3，5）．

Answer 1

分析 對任意n∈N₊，a_n＜a_n+1恒成立．n=1時(shí)，a₁＜a₂，解得$a＜\frac{16}{3}$．n≥2時(shí)，4n+（-1）ⁿ（8-2a）＜4（n+1）+（-1）ⁿ⁺¹（8-2a），化為：（4-a）（-1）ⁿ⁺¹+1＞0，對n分類討論即可得出．

解答 解：∵對任意n∈N₊，a_n＜a_n+1恒成立，
∴n=1時(shí)，a₁＜a₂，可得a＜8+（8-2a），解得$a＜\frac{16}{3}$．
n≥2時(shí)，4n+（-1）ⁿ（8-2a）＜4（n+1）+（-1）ⁿ⁺¹（8-2a），化為：（4-a）（-1）ⁿ⁺¹+1＞0，
n=2k時(shí)，化為：-（4-a）+1＞0，解得a＞3；
n=2k+1時(shí)，化為：4-a+1＞0，解得a＜5．
綜上可得：3＜a＜5．
∴a的取值范圍是（3，5）．
故答案為：（3，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．