Question

9．如圖，設圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊BC為圓的直徑，其余三邊為a、b、c，求證：這個圓的直徑是方程x³-（a²+b²+c²）x-2abc=0的根．

Answer 1

分析 設出圓的直徑為x，利用余弦定理和圓內(nèi)接四邊形對角互補的定理，得出方程x²-2（ab+cx）cos∠C+c²-a²-b²=0，再根據(jù)直徑對直角，得出cos∠C=$\frac{c}{x}$，代入化簡即可．

解答 解：設圓的直徑為BC=x，又AB=a，AD=b，DC=c，
連接BD，
由余弦定理得：
a²+b²-2abcos∠A=BD²，
c²+x²-2cxcos∠C=BD²，
又∠A+∠C=180°﹙圓內(nèi)接四邊形對角互補﹚，
∴cos∠A=cos﹙180°-∠C﹚=-cos∠C，
∴x²-2（ab+cx）cos∠C+c²-a²-b²=0；
又BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∴cos∠C=$\frac{c}{x}$，
∴x²-2（ab+cx）•$\frac{c}{x}$+c²-a²-b²=0，
化簡得x³-﹙a²+b²+c²﹚x-2abc=0，
即該圓的直徑是方程x³-（a²+b²+c²）x-2abc=0的根．

點評 本題考查了余弦定理和圓內(nèi)接四邊形對角互補以及直角三角形的邊角關系的應用問題，是綜合性題目．