Question

4．給出定義：若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f′（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在D上也可導(dǎo)，則稱f（x）在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是凸函數(shù)的是①③④．
①f（x）=sinx+cosx②f（x）=-xe^-x③f（x）=lnx-2x④f（x）=-x³+2x-1．

Answer 1

分析 根據(jù)定義，分別求導(dǎo)，判斷即可．

解答 解：對(duì)于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；
對(duì)于②，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)f″（x）＞0恒成立，
對(duì)于③，f″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，在x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；
對(duì)于④，f″（x）=-6x，在x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，f″（x）＜0恒成立；
故是凸函數(shù)的是①③④
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)公式．屬基礎(chǔ)題．