Question

16．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，則|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的取值范圍是（　�。�

• A． [6，4+4$\sqrt{3}$]
• B． [4$\sqrt{2}$，8]
• C． [4$\sqrt{3}$，8]
• D． [6，12]

Answer 1

分析 可過D作AB的垂線，且垂足為E，這樣可分別以EB，ED為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件即可求出A，B，D的坐標(biāo)，從而可以得出直線AD的方程為$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$，從而可設(shè)$P（x，\sqrt{3}x+2\sqrt{3}）$，且-2≤x≤0，從而可以求出向量$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$的坐標(biāo)，從而得出$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）^{2}=16（{x}^{2}+2x+4）$，而配方即可求出函數(shù)y=16（x²+2x+4）在[-2，0]上的值域，即得出$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）^{2}$的取值范圍，從而得出$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|$的取值范圍．

解答 解：如圖，過D作AB的垂線，垂足為E，分別以EB，ED為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系；
根據(jù)條件可得，AE=2，EB=6，DE=$2\sqrt{3}$；
∴$A（-2，0），B（6，0），D（0，2\sqrt{3}）$；
∴直線AD方程為：$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$；
∴設(shè)$P（x，\sqrt{3}x+2\sqrt{3}）$，（-2≤x≤0）；
∴$\overrightarrow{PA}=（-2-x，-\sqrt{3}x-2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{PB}=（6-x，-\sqrt{3}x-2\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=（4-2x，-2\sqrt{3}-4\sqrt{3}）$；
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）^{2}=（4-2x）^{2}+（-2\sqrt{3}x-4\sqrt{3}）^{2}$
=16（x²+2x+4）
=16（x+1）²+48；
∵-2≤x≤0；
∴48≤16（x+1）²+48≤64；
即$48≤（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）^{2}≤64$；
∴$4\sqrt{3}≤|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|≤8$；
∴$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|$的范圍為$[4\sqrt{3}，8]$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問題的方法，能根據(jù)條件求平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，直線的點(diǎn)斜式方程，以及直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)法，向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，配方求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的方法．