Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{n}{n+1}$•a_n，求a_n．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n+1=$\frac{n}{n+1}$•a_n變形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n}{n+1}$•a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
又∵a₁=1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n-1}{n}$•$\frac{n-2}{n-1}$•…•$\frac{1}{2}$•1
=$\frac{1}{n}$，
∵當(dāng)n=1時(shí)上式成立，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查累乘法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．