Question

14．如圖，以BC為斜邊的等腰直角三角形ABC與等邊三角形ABD所在平面互相垂直，且點(diǎn)E滿足$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$．
（1）求證：平面EBC⊥平面ABC；
（2）求平面EBC與平面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)H，根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明平面EBC⊥平面ABC；
（2）建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EBC與平面ABD所成的角的正弦值．

解答 證明：（1取BC的中點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)H，
∵ABD是等邊三角形，
∴DH⊥AB，
∵以BC為斜邊的等腰直角三角形ABC與等邊三角形ABD所在平面互相垂直，
∴DH⊥平面ABC，
∵點(diǎn)E滿足$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$．
∴DE∥AC，DE═$\frac{1}{2}$AC，
∵HF∥AC，HF=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE∥FH，DE=FH，
則四邊形EFHD是矩形，
則EF∥DH，
則EF⊥平面ABC，
∵EF?平面BCE，
∴平面EBC⊥平面ABC；
（2）建立以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF，HB，HD分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則平面ABD的法向量為$\overrightarrow{DF}$，
$\overrightarrow{AF}$是平面BCE的法向量，
則∠AFH=45°，
則平面EBC與平面ABD所成的角為45°，
則sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
平面EBC與平面ABD所成的角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，利用相應(yīng)的判定定理以及建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．