Question

13．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，向量$\overrightarrow p$=（1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow q$=（cosB，sinB），$\overrightarrow p∥\overrightarrow q$，且bcos C+ccos B=2asin A，則角C等于$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根據$\overrightarrow{p}∥\overrightarrow{q}$即可得出$sinB=-\sqrt{3}cosB$，從而tanB=$-\sqrt{3}$，得出B=$\frac{2π}{3}$，而根據正弦定理得出：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，這樣帶入bcosC+ccosB=2asinA便可得到sinBcosC+sinCcosB=2sin²A，進而得出sinA=2sin²A，這樣即可求出sinA，從而求出角A，這樣即可求出角C的大小．

解答 解：∵$\overrightarrow{p}∥\overrightarrow{q}$；
∴$1•sinB-（-\sqrt{3}）cosB=0$；
∴$sinB=-\sqrt{3}cosB$；
∴$tanB=-\sqrt{3}$；
∴$B=\frac{2π}{3}$；
由正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入bcosC+ccosB=2asinA整理得：
sinBcosC+sinCcosB=2sin²A；
∴sin（B+C）=sinA=2sin²A；
∴$sinA=\frac{1}{2}$；
∴$A=\frac{π}{6}$；
∴$C=\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 考查平行向量的坐標關系，弦化切公式，已知三角函數值求角，以及兩角和的正弦公式，三角函數的誘導公式，正弦定理．