Question

2．（Ⅰ）化簡(jiǎn)$\frac{{2{{cos}^2}α-1}}{{2tan（\frac{π}{4}-α）{{sin}^2}（\frac{π}{4}+α）}}$．
（Ⅱ）已知α，β均為銳角，且sinα=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，求α-β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和與差的公式化簡(jiǎn)即可．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和與差的公式計(jì)算．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{{2{{cos}^2}α-1}}{{2tan（\frac{π}{4}-α）{{sin}^2}（\frac{π}{4}+α）}}$=$\frac{cos2α}{\frac{tan\frac{π}{4}-tanα}{1+tanα•tan\frac{π}{4}}•[1-cos（\frac{π}{2}+2α）]}$=$\frac{cos2α}{\frac{cosα-sinα}{cosα+sinα}•（1+sin2α）}$=$\frac{cos2α}{\frac{cosα-sinα}{cosα+sinα}•（cosα+sinα）^{2}}$=$\frac{cos2α}{（cosα-sinα）（cosα+sina）}$=$\frac{cos2α}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}=1$；
（Ⅱ）∵α，β均為銳角，即$0＜α＜\frac{π}{2}$，$0＜β＜\frac{π}{2}$；
∴$-\frac{π}{2}＜-β＜0$．
則：$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$；
又∵sinα=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
那么：sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$；
∴α-β=$\frac{π}{4}$．
故α-β的值為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角公式和兩角和與差的公式的化簡(jiǎn)計(jì)算能力！屬于基礎(chǔ)題．