Question

18．設f（x）=$\frac{4}{{4}^{x}+2}$，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，{a_n}滿足a₁=0，n≥2時，a_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{3}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），則$\frac{{a}_{n+1}}{2{S}_{n}+{a}_{6}}$的最大值為$\frac{2}{7}$．

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{4}{{4}^{x}+2}$，f（1-x）=$\frac{4}{{4}^{1-x}+2}$，求得f（x）+f（1-x）=2，即f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）=2，采用倒序相加法求得a_n=n-1，根據(jù)等差數(shù)列通項公式，求得S_n=$\frac{（n-1）n}{2}$，則$\frac{{a}_{n+1}}{2{S}_{n}+{a}_{6}}$=$\frac{1}{n+\frac{5}{n}-1}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{5}{n}}-1}$=$\frac{1}{2\sqrt{5}-1}$，由n取正整數(shù)，故當n=2時，取最大值．

解答 解：f（x）=$\frac{4}{{4}^{x}+2}$，f（1-x）=$\frac{4}{{4}^{1-x}+2}$，
f（x）+f（1-x）=$\frac{4}{{4}^{x}+2}$+$\frac{4}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{4}{{4}^{x}+2}$+$\frac{4}{\frac{4+2•{4}^{x}}{{4}^{x}}}$=$\frac{4}{{4}^{x}+2}$+$\frac{4•{4}^{x}}{4+2•{4}^{x}}$=2，
當n≥2時，a_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{3}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），
a_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+…+f（$\frac{3}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$），
∴2a_n=2•（n-1），
∴a_n=n-1，
當n=1時，a₁=0滿足，
∴數(shù)列{a_n}是以0為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=$\frac{（n-1）n}{2}$，
a₆=5，
$\frac{{a}_{n+1}}{2{S}_{n}+{a}_{6}}$=$\frac{n}{2•\frac{（n-1）n}{2}+5}$=$\frac{n}{{n}^{2}-n+5}$=$\frac{1}{n+\frac{5}{n}-1}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{5}{n}}-1}$=$\frac{1}{2\sqrt{5}-1}$，
當且僅當n=$\frac{5}{n}$時，即n=$\sqrt{5}$時取等號，
又n取正整數(shù)，
∴當n=2時，取最大值最大值為：$\frac{2}{7}$，
故答案為：$\frac{2}{7}$．

點評 本題考查數(shù)列與不等式相結合，考查等差數(shù)列通項公式及前n項和公式，考查基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．