Question

10．已知f（x）=xe^x-ax²-x，a∈R．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對x≥1時，恒有f（x）≥xe^x+ax²成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為g（x）=2ax²+x在≤0[1，+∞）恒成立，a=0時，不成立，a＜0時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x+1）e^x-2ax-1，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，f′（x）=（x+1）e^x-（x+1）=（x+1）（e^x-1），
當(dāng)x＞0或x＜-1時，f′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0）；
（2）若對x≥1時，恒有f（x）≥xe^x+ax²成立，
即g（x）=2ax²+x≤0在[1，+∞）恒成立，
①a=0時，g（x）=x，顯然不成立，
②故a＜0，g（x）=2ax²+x開口向下，對稱軸x=-$\frac{1}{4a}$，
-$\frac{1}{4a}$＜1即a＜-$\frac{1}{4}$時，g（x）在[1，+∞）遞減，
g（x）_min=g（1）=2a+1≤0，解得：a≤-$\frac{1}{2}$；
-$\frac{1}{4}$≤a＜0時，g（x）在[1，-$\frac{1}{4a}$）遞增，在（-$\frac{1}{4a}$，+∞）遞減，
g（x）_max=g（-$\frac{1}{4a}$）＞0，不成立，
綜上：a≤-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．