Question

1．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的中點(diǎn)，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出端點(diǎn)的函數(shù)值f（-2）與f（2），比較f（2）與f（-2）的大小，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，在[-2，-1]上單調(diào)遞減，得到f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，建立等式關(guān)系求出a．

解答 解：∵f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，3）；
（2）∵f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，
∴f（2）＞f（-2）．
因?yàn)樵冢?1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，
又由于f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，
因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．以及在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了分析與解決問(wèn)題的綜合能力．