1．已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求a的值．

分析 （1）求導數(shù)，利用導數(shù)的中點，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出端點的函數(shù)值f（-2）與f（2），比較f（2）與f（-2）的大小，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，在[-2，-1]上單調(diào)遞減，得到f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，建立等式關系求出a．

解答 解：∵f′（x）=-3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，3）；
（2）∵f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，
∴f（2）＞f（-2）．
因為在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，
又由于f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，
因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．

點評 本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．以及在閉區(qū)間上的最值問題等基礎知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力．

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（1）求函數(shù)的極值；
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10．已知f（x）=xex-ax2-x，a∈R．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對x≥1時，恒有f（x）≥xex+ax2成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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11．如圖所示，在棱長為2的正方體AC1中，點P，Q分別在棱BC、CD上，滿足B1Q⊥D1P，且PQ=$\sqrt{2}$．
（1）試確定P、Q兩點的位置．
（2）求B1Q與平面APQ所成角的正弦值．

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