Question

某工廠欲加工一件藝術(shù)品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長方體ABCDEFGH材料切割成三棱錐HACF．

（1）若點M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點，點G是NK上的任意一點，求證：MG∥平面ACF；
（2）已知原長方體材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根據(jù)藝術(shù)品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高．工程師設計了一個求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運行該程序時乙工程師應輸入的t的值是多少？

Answer 1

考點：程序框圖,直線與平面平行的判定

專題：應用題,空間位置關(guān)系與距離,算法和程序框圖

分析：（1）由已知及直線與平面平行的判定先證明MK∥平面ACF，同理可證MN∥平面ACF，可證平面MNK∥平面ACF，由面面平行的性質(zhì)即可證明MG∥平面ACF．
（2）由程序框圖可知a=CF，b=AC，c=AF，依次可求d，e，又h=

3t

e

，可得t=

1

3

he=V_{三棱錐HACF}．由三棱錐HACF為將長方體ABCDEFGH切掉4個體積相等的小三棱錐所得，即可求t的值．

解答： 解：（1）證明：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，
∴MK∥AF，MN∥AC．
∵MK?平面ACF，AF?平面ACF，
∴MK∥平面ACF，
同理可證MN∥平面ACF，
∵MN，MK?平面MNK，且MK∩MN=M，
∴平面MNK∥平面ACF，又MG?平面MNK，故MG∥平面ACF．
（2）由程序框圖可知a=CF，b=AC，c=AF，
∴d=

b2+c2-a2

2bc

=

AC2+AF2-CF2

2AC•AF

=cos∠CAF，
∴e=

1

2

bc

1-d2

=

1

2

AC•AF•sin∠CAF=S_△ACF．
又h=

3t

e

，∴t=

1

3

he=

1

3

h•S_△ACF=V_{三棱錐HACF}．
∵三棱錐HACF為將長方體ABCDEFGH切掉4個體積相等的小三棱錐所得，
∴V_{三棱錐HACF}=2×3×1-4×

1

3

×

1

2

×3×2×1=6-4=2，
故t=2．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，面面平行的性質(zhì)，程序框圖和算法的應用，綜合性較強，屬于中檔題．