Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a＞0）．
（Ⅰ） 若a=1，求f（x）單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ） 若f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f′（x求單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）f（x）=x²-alnx=0在（1，e）上有兩解，可得f（x）=x²-alnx在（1，e）與x軸有兩交點，根據(jù)單調(diào)性及最值情況即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx，f'（x）=x-\frac{1}{x}$=0，x=1（負值舍去），
當(dāng)x∈（0，1]時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0；
∴ha函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，1]；增區(qū)間為[1，+∞）；
函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=$\frac{1}{2}$…（6分）
（Ⅱ）由$f'（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{x}$．
由a＞0及定義域為（0，+∞），令$f'（x）=0，得x=\sqrt{a}$．
①若$\sqrt{a}≤1，即0＜a≤1$，在（1，e）上，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
函數(shù)不可能有兩個零點；
②若$\sqrt{a}≥e，即a≥{e^2}$，在（1，e）上，f'（x）＜0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
函數(shù)不可能有兩個零點；
③若$1＜\sqrt{a}＜e，即1＜a＜{e^2}$，在$（1，\sqrt{a}）$上，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在$（\sqrt{a}，e）$上，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
因此f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為$f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}a（1-lna）$．
要使f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，則
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}a（1-lna）＜0\\ f（1）=\frac{1}{2}＞0\\ f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-a＞0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a＞e\\ a＜\frac{1}{2}{e^2}\end{array}\right.$，此時，$e＜a＜\frac{1}{2}{e^2}$．
所以，a的取值范圍為$（e，\frac{1}{2}{e^2}）$．…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查參數(shù)的分離，考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．