Question

3．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx．
（1）討論f（x）單調(diào)性；
（2）若f（x）恰有兩個零點，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求導函數(shù)，求出函數(shù)的零點，再進行分類討論，從而可確定函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）的結論，結合根的存在性原理，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（1+a）+x=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a
①當0＜a＜1時，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜a或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；
②當a=1時，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0，當且僅當x=1時，f′（x）=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
③當a＞1時，令f′（x）＞0，又x＞0，可得0＜x＜1或x＞a；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜a
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，a）；
④a≤0時，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
（2）由（1），當a=1時，顯然不成立，
當a＞1時，由于極大值f（a）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，∴也不成立，
當0＜a＜1時，極大值f（a）=-$\frac{1}{2}$a²-a+alna＜0，也不成立，
當a≤0時，f（x）在x=1處取得極小值，
又當x→0時，或x→+∞時，都有g（x）→+∞，
∴f（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
綜上所述a的取值范圍為（-$\frac{1}{2}$，0）

點評 本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，及根的存在性原理的運用，利用導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性是關鍵，屬于中檔題．