Question

設(shè)f（x）=lnx．
（1）設(shè)，求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4對(duì)任意a∈[-1，1]，x∈[0，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=lnx．，可得F（x）的解析式，及定義域，利用導(dǎo)數(shù)法，分別判斷F'（x）在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，即可得到F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=lnx的單調(diào)性，可將不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4化為ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²+3am+4，即，求出的最大值為0，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，可以構(gòu)造關(guān)于m的不等式組，解不等式組可得m的取值范圍．
解答：解：（1），定義域?yàn)椋海?2，-1）∪（-1，+∞）.．
令F'（x）＞0，得單調(diào)增區(qū)間（-2，和，+∞），
令F'（x）＜0，得單調(diào)增區(qū)間，-1）和（-1，．
（2）等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4化為ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²+3am+4，．
現(xiàn)在只需求的最大值和y=3ma+4-m²（a∈[-1，1]）的最小值.在[0，1]上單調(diào)遞減，所以的最大值為0．
而y=3ma+4-m²（a∈[-1，1]）是關(guān)于a的一次函數(shù)，
故其最小值只能在x=-1或x=1處取得于是得到
，
，
所以m的取值范圍是：[-1，1]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中熟練掌握導(dǎo)函數(shù)值符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．