Question

4．已知f（x）為二次函數(shù)，f（0）=2，且滿足f（x+1）-f（x）=2x-1．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，求函數(shù)的值域；
（3）當(dāng)∈[t，t+1]時(shí)，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）要求二次函數(shù)的解析式，利用直接設(shè)解析式的方法，一定要注意二次項(xiàng)系數(shù)不等于零，在解答的過程中使用系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，解方程組求的結(jié)果．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值，
（3）分析函數(shù)f（x）=x²-2x+2的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而分類討論給定區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，進(jìn)而得到函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得答案

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=2得c=2，
故f（x）=ax²+bx+2．
因?yàn)閒（x+1）-f（x）=2x-1，
所以a（x+1）²+b（x+1）+2-（ax²+bx+2）=2x-1．
即2ax+a+b=2x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2，
（2）f（x）的對稱軸為x=1，
∴f（x）_min=f（1）=1，
f（x）_max=f（-2）=10，
∴f（x）的值域?yàn)閇1，10]，
（3）當(dāng)t≥1時(shí)，f（x）在[t，t+1]上遞增，
∴f（x）_min=f（t）=t²-2t+2，
當(dāng)t＜1＜t+1時(shí)，即0＜t＜1時(shí)，
f（x）_min=f（1）=1，
當(dāng)t+1≤1時(shí)，即t≤0時(shí)，f（x）在[t，t+1]上遞減，
f（x）_min=f（t+1）=t²+1，
綜上所述，
f（x）min=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t+2，t≥1}\\{1，0＜t＜1}\\{{t}^{2}+1，t≤0}\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．