Question

16．已知拋物線x²=2py（p＞0），定點(diǎn)C（0，p），點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，過定點(diǎn)C（0，p）的直線l交拋物線x²=2py（p＞0）于A，B兩點(diǎn)，設(shè)N到直線l是距離為d，則|AB|•d的最小值為$4\sqrt{2}{p}^{2}$．

Answer 1

分析 依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，-p），可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯(lián)立消去y得x²-2pkx-2p²=0．然后由韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解．

解答 解：依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，-p），
可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯(lián)立，
消去y得x²-2pkx-2p²=0．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2p²．
于是|AB|•d=2S_△ABN=2•$\frac{1}{2}•2p•$|x₁-x₂|=2•$2{p}^{2}\sqrt{{k}^{2}+2}$
∴當(dāng)k=0時(shí)，|AB|•d的最小值為$4\sqrt{2}{p}^{2}$．
故答案為：$4\sqrt{2}{p}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線、拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．