Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

4

a_n+

3

4

，則{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題根據(jù)條件S_n=

1

4

a_n+

3

4

，令n=1，可以求出首項(xiàng)的值，再由n≥2時(shí)，S_n-S_n-1=a_n，得到遞推公式an=-

1

3

an-1，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，再用等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式求出a_n的表達(dá)式，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

4

a_n+

3

4

，①
∴當(dāng)n=1時(shí)，
S1=

1

4

a1+

3

4

，
∵S₁=a₁，
∴a₁=1．
當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，
Sn-1=

1

4

an-1+

3

4

，②
將①-②得到：an=

1

4

an-

1

4

an-1，
∴an=-

1

3

an-1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為-

1

3

的等比數(shù)列，
∴an=1×(-

1

3

)n-1=(-

1

3

)n．
故答案為：an=(-

1

3

)n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系、等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．