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15.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32,且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A132,直線l:y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若△AOB的面積為1(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.

分析 (1)由題意可知:離心率e=ca=32,a2=4b2,將A132代入橢圓方程1a2+34b2=1,即可求得a和b的值,寫出橢圓C的方程;
(2)將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,結(jié)合弦長公式即可求得丨AB丨,利用三角形的面積公式,即可求得三角形的面積公式,代入即可求得m的值,即可求得直線l的方程.

解答 解:(1)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,
∵離心率e=ca=32,
c2a2=34,即a2b2a2=34,得a2=4b2,①
∵橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A132,
1a2+34b2=1,②
聯(lián)立①②,解得a2=4,b2=1,
∴橢圓C的方程為x24+y2=1
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
{y=x+mx24+y2=1,整理得:5x2+8mx+4m2-4=0.
由△=64m2-4×5×(4m2-4)>0,解得:5m5,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=8m5,x1x2=4m245,
|AB|=12+1x1+x224x1x2=28m5244m245=425m25,
原點(diǎn)O到直線l:x-y+m=0的距離d=|m|2,
SAOB=12|AB|d=12425m25|m|2=1,
化簡得,4m4-20m2+25=0,∴m2=52,
m=±102
∴直線l的方程為y=x±102

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長公式及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.

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附:回歸直線方程\widehat{y}=\widehatx+\widehat{a}中:\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}},\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}

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