Question

【題目】正整數數列的前項和為，前項積，若，則稱數列為“數列”.

(1)判斷下列數列是否是數列，并說明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56

(2)若數列是數列，且.求和；

(3)是否存在等差數列是數列？請闡述理由.

Answer 1

【答案】(1) ①是；②不是；理由見解析；（2）或；（3）存在.

【解析】

(1)根據新定義的數列，需要滿足，所以分別計算兩個數列的，，相比觀察得答案；

(2)由數列的定義可知，分別表示，由正整數數列可分別求得，即得，從而得答案；

(3) 假設存在這樣的等差數列是數列，且此數列是特殊的常數列，則至少三項，分別表示所以，所以a是2和3的公倍數，令，顯然該等差數列是Z數列，所以存在；此后類比推理，可到n項.

(1) ①由題可知，此時有

	1	2	3	4
	2
	2
	1	1	2	8

該數列滿足，所以是數列；

②同理可得：

	1	2	3	4
	8
	8
	1	6		3360

該數列中，所以不是數列.

(2) 因為數列是數列，

那么，則

又因為數列是正整數數列，

若，則，

所以，則或

當時，；同理當時，

故或

(3) )假設：存在這樣的等差數列是數列，且此數列是特殊的常數列，則至少三項

所以，所以a是2和3的公倍數

令，顯然該等差數列是Z數列，所以存在；

同理，如果是四項，則需滿足每項是2，3，4的公倍數，如12，12，12，12

如此類推的有限等差數列，可以有無窮多個，且當為n項時，則各項為的公倍數

故存在等差數列是數列.