Question

20．已知定義在[-1，+∞]上的函數(shù)在區(qū)間[-1，3）上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}（-1≤x＜1）}\\{\frac{3}{2}-\frac{3}{x}×|x-2|（1≤x＜3）}\end{array}\right.$，當(dāng)x≥3時(shí)，函數(shù)滿足f（x）=f（x-4）+1，若函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值或取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{5}{14}$，$\frac{9+\sqrt{21}}{40}$）
• B． $\frac{5}{14}$
• C． （$\frac{5}{12}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{5}{14}$，$\frac{5}{12}$）

Answer 1

分析 將問題轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=k（x+1）有6個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，求出兩函數(shù)圖象恰有5個(gè)交點(diǎn)和7個(gè)交點(diǎn)時(shí)的k值，即可得出k的范圍．

解答 解：令g（x）=0得f（x）=k（x+1）．
作出y=f（x）與y=k（x+1）的函數(shù)圖象，

由圖象可知M（-1，0）為兩函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)直線y=k（x+1）與f（x）在[3，4）上的函數(shù)圖象相切時(shí)，兩函數(shù)圖象有恰好有5個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)此時(shí)直線斜率為k₁，A（4，1），則tan∠AMx=$\frac{1}{5}$，
∴k₁=tan2∠AMx=$\frac{2tan∠AMx}{1-ta{n}^{2}∠AMx}$=$\frac{5}{12}$．
設(shè)B（6，$\frac{5}{2}$），則當(dāng)直線y=k（x+1）經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，兩函數(shù)圖象恰好有7個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)此時(shí)直線斜率為k₂，則k₂=k_BM=$\frac{\frac{5}{2}-0}{6+1}$=$\frac{5}{14}$．
∴k的取值范圍是（$\frac{5}{14}$，$\frac{5}{12}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，準(zhǔn)確作出函數(shù)圖象，尋找k的臨界值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．