Question

5．已知點(diǎn)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是m（m≠0），點(diǎn)D為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)．
（1）若m=2，求△DAB的面積；
（2）設(shè)$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{AP}$=μ$\overrightarrow{PB}$，求證λ+μ為定值．

Answer 1

分析 （1）由題知點(diǎn)P，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（-1，m），（1，0），求出斜率用點(diǎn)斜式寫出直線方程．設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），用弦長公式求出線段AB的長，再由點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)D到直線AB的距離，用三角形面積公式求出面積；
（2）$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{AP}$=μ$\overrightarrow{PB}$，變化為坐標(biāo)表示式，從中求出參數(shù)λ，μ用兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)表示的表達(dá)式，即可證明出兩者之和為定值．

解答 （1）解：由題知點(diǎn)P，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（-1，2），（1，0），
于是直線PF的斜率為1，
所以直線PF的方程為y=-（x-1），
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由直線與拋物線聯(lián)立得x²-6x+1=0，
所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
于是|AB|=x₁+x₂+2=8．
點(diǎn)D到直線x+y-1=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
所以S=$\frac{1}{2}×8×\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$；
（2）證明：由直線y=-$\frac{m}{2}$（x-1），與拋物線聯(lián)立得m²x²-（2m²+16）x+m²=0，
所以x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}+16}{{m}^{2}}$，x₁x₂=1．
因?yàn)?\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{AP}$=μ$\overrightarrow{PB}$，
所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（-1-x₁，m-y₁）=μ（x₂+1，y₂-m），
于是λ=$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$，μ=$\frac{-1-{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$ （x₂≠±1）．
所以λ+μ=$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$+$\frac{-1-{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{2}-1）（{x}_{2}+1）}$=0．

點(diǎn)評 本題考查直線方程、拋物線焦點(diǎn)弦弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式及向量中數(shù)乘向量的意義，涉及知識(shí)較多，綜合性較強(qiáng)．