Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=15且S₄=64．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=21-2n．令a_n≥0，取n≤10．當(dāng)1≤n≤10時(shí)，|a_n|=a_n，即可得出數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=S_n．當(dāng)n≥11時(shí)，T_n=2S₁₀-S_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=15且S₄=64．
∴a₁+2d=15，$4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}$d=64，
解得a₁=19，d=-2．
∴S_n=19n-2×$\frac{n（n-1）}{2}$=-n²+20n．
（2）由（1）可得：a_n=19-2（n-1）=21-2n．
令a_n≥0，解得n≤$\frac{21}{2}$，取n≤10．
∴當(dāng)1≤n≤10時(shí)，|a_n|=a_n，
∴數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=S_n=-n²+20n．
當(dāng)n≥11時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a₁₀-a₁₁-…-a_n
=2S₁₀-S_n
=2×（-10²+20×10）-（-n²+20n）
=n²-20n+200．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+20n，1≤n≤10}\\{{n}^{2}-20n+200，n≥11}\end{array}\right.$，（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值的數(shù)列求和問題，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．