Question

6．不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）≥25對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為16．

Answer 1

分析 利用基本不等式進(jìn)行求解，先求出（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值為（$\sqrt{a}$+1）²，然后解不等式即可．

解答 解：（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥1+a+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{ax}{y}}$=1+a+2$\sqrt{a}$=（$\sqrt{a}$+1）²，
即（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值為（$\sqrt{a}$+1）²，
若不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）≥25對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，
∴（$\sqrt{a}$+1）²≥25，即$\sqrt{a}$+1≥5，
則$\sqrt{a}$≥4，
則a≥16，
即正實(shí)數(shù)a的最小值為16，
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式先求出（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值為（$\sqrt{a}$+1）²是解決本題的關(guān)鍵．