Question

18．已知f（x）=log₃（1+x）-log₃（1-x）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）已知函數(shù)g（x）=log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{1+x}{k}$，當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為奇函數(shù)，理由：求得定義域，計(jì)算f（-x）與f（x）比較即可得證；
（2）由題意可得log₃$\frac{1+x}{1-x}$≥log₃$\frac{（1+x）^{2}}{{k}^{2}}$，即$\frac{1+x}{1-x}$≥$\frac{（1+x）^{2}}{{k}^{2}}$，即k²≥1-x²，求得1-x²的最小值即可得到k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=log₃（1+x）-log₃（1-x）為奇函數(shù)．
理由：1+x＞0且1-x＞0，得定義域?yàn)椋?1，1），（2分）
又f（-x）=log₃（1-x）-log₃（1+x）=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)．（4分）
（2）g（x）=log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{1+x}{k}$=2log₃$\frac{1+x}{k}$，（5分）
又-1＜x＜1，k＞0，（6分）
由f（x）≥g（x）得log₃$\frac{1+x}{1-x}$≥log₃$\frac{（1+x）^{2}}{{k}^{2}}$，
即$\frac{1+x}{1-x}$≥$\frac{（1+x）^{2}}{{k}^{2}}$，（8分）
即k²≥1-x²，（9分）
x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，1-x²最小值為$\frac{3}{4}$，（10分）
則k²≥$\frac{3}{4}$，（11分）
又k＞0，則k≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即k的取值范圍是（-∞，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，考查不等式有解的條件，注意運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．