Question

6．一個(gè)口袋中裝有大小相同的n個(gè)紅球（n≥5，n∈N）和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸出兩個(gè)球，兩個(gè)球的顏色不同則為中獎(jiǎng)．
（1）試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p；
（2）記從口袋中三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后球放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為m，求m的最大值；
（3）在（2）條件下將5個(gè)白球全部取出后，對(duì)剩下的n個(gè)紅球全部作如下標(biāo)記，記上i號(hào)的球有i個(gè)（i=1，2，3，4），其余的紅球記上0號(hào)，現(xiàn)從袋中任取一球，用ζ表示所取球的標(biāo)號(hào)．求ζ的分布列、期望和方差．

Answer 1

分析 （1）直接利用古典概型概率的求法，用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p；
（2）記從口袋中三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后球放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為m，列出方程即可求m的最大值；
（3）在（2）條件下將5個(gè)白球全部取出后，對(duì)剩下的n個(gè)紅球全部作如下標(biāo)記，ζ表示所取球的標(biāo)號(hào)，求出概率，得到分布列，然后求解期望與方差．

解答 （12分）
解（1）$p=\frac{c_n^1c_5^1}{{c_{n+5}^2}}=\frac{10n}{（n+5）（n+4）}$
（2）設(shè)每次中獎(jiǎng)的概率為p，三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率是：$m={p_3}（1）=c_3^1p{（1-p）^2}=\frac{3}{2}2p（1-p）（1-p）≤\frac{3}{2}{（\frac{2p+1-p+1-p}{3}）^3}=\frac{4}{9}$
當(dāng)且僅當(dāng)2p=1-p即$p=\frac{1}{3}$時(shí)，m取得最大值$\frac{4}{9}$．
當(dāng)$p=\frac{1}{3}$時(shí)，$\frac{10n}{{{n^2}+9n+20}}=\frac{1}{3}⇒n=20$
（3）ζ的值分別為：0，1，2，3，4．記上0號(hào)的有10個(gè)紅球，從中任取一球，有20種取法，它們是等可能的故ξ的分布列是

ζ	0	1	2	3	4
p	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{2}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{4}{20}$

Eξ=0×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{1}{20}$+2×$\frac{2}{20}$+3×$\frac{3}{20}$+4×$\frac{4}{20}$=$\frac{3}{2}$                                     
Dξ=（0-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{1}{20}$+（2-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{2}{20}$+（3-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{3}{20}$+（4-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{4}{20}$=$\frac{11}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、等可能事件的概率、離散型隨機(jī)變量的期望與方差等基礎(chǔ)知識(shí)，求離散型隨機(jī)變量期望的步驟：①確定離散型隨機(jī)變量 的取值．②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1．③求出期望．