Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足f'（-1）=0，f'（2）=9．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求c的值．
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，求c的范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系求出a，b的值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值，建立方程關(guān)系即可求c的值．
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，則等價(jià)為函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，解不等式即可求c的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-3x²+2ax+b，
∵f'（x）滿足f'（-1）=0，f'（2）=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3-2a+b=0}\\{-12+4a+b=9}\end{array}\right.$得a=3，b=9，
則f（x）=-x³+3x²+9x+c，f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x²-2x-3），
由f′（x）＞0得-3（x²-2x-3）＞0得x²-2x-3＜0，得-1＜x＜3，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即遞增區(qū)間為（-1，3），
由f′（x）＜0得-3（x²-2x-3）＜0得x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）；
（2）由（1）知，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（-1）=1+3-9+c=c-5，
f（-2）=8+12-18+c=2+c，f（2）=-8+12+18+c=22+c，
則f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為f（2）=22+c=20，
則c=-2．
（3）由（1）知當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（-1）=1+3-9+c=c-5，
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得極大值f（3）=-27+27+27+c=27+c，
若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=c-5＜0}\\{f（3）=27+c＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{c＜5}\\{c＞-27}\end{array}\right.$，得-27＜c＜5，
即c的范圍是（-27，5）．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，建立方程或不等式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．