Question

2．已知拋物線y²=2px（p＞0），傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（|AF|＞|BF|）．過(guò)A點(diǎn)作拋物線的切線與拋物線的準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，直線CF交拋物線于D，E兩點(diǎn)（|DF|＜|FE|）．直線AD，BE相交于G，則$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{△ABG}}}}$=（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用直線AB與拋物線相交，求A，B出的坐標(biāo)，寫求出直線AC和C的坐標(biāo)．易得直線CF與AB關(guān)于x軸對(duì)稱．
所以AD與BE關(guān)于x軸對(duì)稱，所以x_D=x_E，且G點(diǎn)在x軸上．G到直線AB的距離d₁，點(diǎn)C到直線AB的距離d₂，則$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{△ABG}}}}$=$\frac{l9bzrj9_{1}}{hhhxj9x_{2}}$即可得到答案．

解答 解：直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x+\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，解得A（，$（\sqrt{2}+\frac{3}{2}）P$，$（\sqrt{2}+1）P$），B（$（\sqrt{2}-1）P$，$（\sqrt{2}-\frac{1}{2}）P$）
過(guò)A點(diǎn)作拋物線的切線與拋物線的準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，可得：C（$-\frac{P}{2}$，P）
∴直線CF：$y=-（x-\frac{p}{2}）$
 易得直線CF與AB關(guān)于x軸對(duì)稱．
所以AD與BE關(guān)于x軸對(duì)稱，所以x_D=x_E，且G點(diǎn)在x軸上．
x_D=x_E=$（\frac{3}{2}-\sqrt{2}）P$，${y}_{D}=（\sqrt{2}-1）P$．
直線AD的方程為：$y-（\sqrt{2}-）P=\frac{\sqrt{2}}{2}[x-（\sqrt{2}-\frac{3}{2}）P]$，與y=0聯(lián)立解得x=-$\frac{P}{2}$，
所以：點(diǎn)G到直線AB的距離d₁=$\frac{p}{\sqrt{2}}$
點(diǎn)C到直線AB的距離d₂=|CF|=$\sqrt{2}P$；
因此：$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{△ABG}}}}$=$\frac{zrbj9nn_{1}}{51nhljx_{2}}$=2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)的運(yùn)用，拋物線的特性（對(duì)稱軸性）的運(yùn)用能力和計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題．