Question

12．過(guò)拋物線$x=\frac{1}{4}{y^2}$的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若|AF|=4，則△AMB的面積為（　�。�

• A． $\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{7\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用拋物線的定義，求出A，B的坐標(biāo)，再計(jì)算△AMB的面積．

解答 解：拋物線$x=\frac{1}{4}{y^2}$即為y²=4x的準(zhǔn)線l：x=-1．
∵|AF|=3，
∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x=-1的距離為4，
∴1+x_A=4，
∴x_A=3，
∴y_A=±2$\sqrt{3}$，
不妨設(shè)A（3，2$\sqrt{3}$），
∴S_△AFM=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵F（1，0），
∴直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
解得B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴S_△BFM=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△AMB=S_△AFM+S_△BFM=2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，考查三角形的面積的計(jì)算，確定A，B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．