Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1+9{x}^{2}，}}&{x≤0}\\{1+x{e}^{x-1}，}&{x＞0}\end{array}\right.$，點A、B是函數(shù)f（x）圖象上不同兩點，則∠AOB（O為坐標原點）的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{π}{4}$）
• B． （0，$\frac{π}{4}$]
• C． （0，$\frac{π}{3}$）
• D． （0，$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 當x≤0時，函數(shù)f（x）是雙曲線得到漸近線的斜率k=-3，當x＞0時，求函數(shù)過原點的切線，根據(jù)直線的夾角公式進行求解即可．

解答 解：當x≤0時，由y=$\sqrt{1+9{x}^{2}}$得y²-9x²=1，（x≤0），此時對應的曲線為雙曲線，雙曲線的漸近線為y=-3x，此時漸近線的斜率k₁=-3，
當x＞0時，f（x）=1+xe^x-1，當過原點的直線和f（x）相切時，設切點為（a，1+ae^a-1），
函數(shù)的導數(shù)f′（x）=e^x-1+xe^x-1=（x+1）e^x-1，
則切線斜率k₂=f′（a）=（a+1）e^a-1，
則對應的切線方程為y-（1+ae^a-1）=（1+a）e^a-1（x-a），
即y=（1+a）e^a-1（x-a）+1+ae^a-1，
當x=0，y=0時，（1+a）e^a-1（-a）+1+ae^a-1=0，
即a²e^a-1+ae^a-1=1+ae^a-1，
即a²e^a-1=1，得a=1，此時切線斜率k₂=2，
則切線和y=-3x的夾角為θ，
則tanθ=|$\frac{-3-2}{1-2×3}$|=$\frac{5}{5}=1$，則θ=$\frac{π}{4}$，
故∠AOB（O為坐標原點）的取值范圍是（0，$\frac{π}{4}$），
故選：A．

點評 本題主要考查直線夾角的求解，根據(jù)雙曲線的漸近線和導數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．