Question

17．已知橢圓的焦點(diǎn)F₁（0，-$\sqrt{7}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{7}$），直線y=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$是橢圓的一條準(zhǔn)線
（1）求橢圓方程；
（2）若P為橢圓上一點(diǎn)，且|PF₁|=|PF₂|+2，求∠F₁PF₂的大小．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{7}$，$\frac{9\sqrt{7}}{7}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，解出即可得出．
（2）由于P為橢圓上一點(diǎn)，利用橢圓的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=6，又|PF₁|=|PF₂|+2，聯(lián)立解得|PF₁|，|PF₂|．再利用余弦定理即可得出∠F₁PF₂．

解答 解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{7}$，$\frac{9\sqrt{7}}{7}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，解得a=3，c=$\sqrt{7}$，b²=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
（2）∵P為橢圓上一點(diǎn)，∴|PF₁|+|PF₂|=6，又|PF₁|=|PF₂|+2，
聯(lián)立解得|PF₁|=4，|PF₂|=2．
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{{4}^{2}+{2}^{2}-（2\sqrt{7}）^{2}}{2×4×2}$=-$\frac{1}{2}$，
解得∠F₁PF₂=120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．