Question

函數(shù)f（x）=

x2+4

+

(x-2)2+1

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若x＜0，則f（x）＞f（-x）．因而，當(dāng)f（x）取最小值時(shí)，必然有；若x≥0，可作線段AB=2，AC⊥AB，DB⊥AB，且AC=2，BD=1．對(duì)于AB上的任意一點(diǎn)O，令OA=x，則OC=

x2+4

，OD=

(x-2)2+1

，那么，問題轉(zhuǎn)化為在AB上求一點(diǎn)O，使OC+OD最�。�

解答： 解：如圖，作線段AB=4，AC⊥AB，DB⊥AB，且AC=2，BD=1，
對(duì)于AB上的任意一點(diǎn)O，令OA=x，則
OC=

x2+4

，OD=

(x-2)2+1

，
設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為E，則DE與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)O．
此時(shí)，OC+OD=OE+OD=DE，
作EF∥AB與DB的延長線交于F，
在Rt△DEF中，易知EF=AB=2，DF=3，
所以DE=

22+32

=

13

，
因此，函數(shù)f（x）=

x2+4

+

(x-2)2+1

的最小值是

13

．
故答案為：

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是將最值問題轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱-最短路線問題．